# IB Mathematics AA SL - Original-IA und übergebene Korrektur Canonical HTML: https://www.prelearning.de/ib-mathematik-ia-beispiel-korrektur/ Hinweis: Diese maschinenlesbare Textfassung dient der Suche und Barrierefreiheit. Für Layout, Formeln, Tabellen und Abbildungen sind die unveränderten Originaldateien maßgeblich. ## Dokument 1: Original eingereichte IA (Englisch, unverändert) An exploration into Cooling Process Internal Assessment: Mathematics Analysis and Approaches Standard Level Formulating a Suitable Equation to Model the Cooling Process of Hibiscus Tea 15 pages February 2, 2026 Personal code: e2u7l1e8r Introduction I was inspired to undertake this investigation because of a habit which has become part of my evening routine. After finishing my homework, I usually brew hibiscus tea and drink it while reading books. The bright red colour and sour taste makes the drink especially enjoyable, but I have a repeated problem: I often begin another task and forget the cup beside me. When I return, it has either cooled into the comfortable range or become too cold. The difference between these outcomes is only several minutes, so I wanted a way of predicting the useful drinking time instead of testing the tea each evening again and again. This situation connected naturally to functions and calculus. Temperature is continuous, it changes at a non-constant rate, and the surrounding room places a lower restriction on the cooling process. I therefore decided to measure the temperature of one preparation of hibiscus tea repeatedly and then formulate an equation which models its cooling. My research question is: How accurately can an exponential model predict the time required for say 300 mL of hibiscus tea to cool below 45°C in a room with an ambient temperature of approximately 22.4°C? The boundary of 45°C is personally relevant because I have checked and below this value the drink tastes flat and I normally reheat it. Research about hot beverages often reports preferred temperatures close to 54-60°C, although preference changes between people and beverages (Brown and Diller, 2008). I used a lower boundary because hibiscus tea is less viscous than coffee and, in my experience, still feels warm at 45°C. This decision is subjective, but it allows the mathematics to answer a clear and useful question. From chemistry and physics, I expected the difference between the tea temperature and the room temperature to somehow influence the cooling rate. A larger difference should cause a faster loss of thermal energy, while a smaller difference should slow the process. The liquid should not cool below the room temperature because at that point the tea and the environment have reached thermal equillibrium. Evaporation, conduction through the mug and convection at the surface all contribute to this behaviour. I anticipated an exponential relationship with a horizontal asymptote at the ambient temperature. Background and Data Collection Methodology Hibiscus beverages may be prepared by hot or cold extraction. Ramirez-Rodrigues et al. compared both methods and showed that hot extraction at 90°C can obtain similar anthocyanin concentrations much faster than cold extraction. For consistency, I prepared the tea using water from the same kettle and the same packet of dried Hibiscus sabdariffa calyces in every trial. This gave the exploration a real context while keeping the mathematical variable of interest as temperature over time. For each trial, 6.0 g of dried hibiscus calyces was placed in a ceramic mug. I heated water to 90°C, measured 300 mL with a graduated cylinder, poured it into the mug, and stirred for 10 seconds. After an extraction time of four minutes the calyces were removed using the same metal strainer. A digital probe thermometer was placed approximately 3 cm below the surface without touching the mug. The first reading was defined as t = 0, and a temperature was recorded every 5 minutes for one hour. The experiment was repeated three times on the same desk. The room temperature was measured before each trial and treated as 22.4°C. A fluctuation of about ±0.3°C was visible during the experiment, but this was ignored in the later model so that a single horizontal asymptote could be used. The same mug, water volume, calyx mass, stirring time, probe depth and desk position were held constant. Windows were closed and no fan was used. The thermometer displayed values to 0.1°C and the measuring cylinder had 5 mL divisions. Using three trials should eliminate random errors and produce data which are more representative than one observation. It was not possible to control the exact initial tea temperature, the humidity, or the small amount of water remaining on the strainer. I also assumed that the thermometer did not significantly cool the liquid. These limitations were considered acceptable because the purpose was to construct a usable mathematical model rather than a full thermodynamic description. Variables • Independent variable: elapsed time, t, measured in minutes. • Dependent variable: temperature of the tea, T, measured in degrees Celsius. • Controlled variables: mug, liquid volume, hibiscus mass, extraction time, probe depth, stirring and room location. Raw Data Table 1 - Temperature over time from Trial 1 Time 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 (min) Temp 78.9 69.9 62.9 55.2 49.9 44.0 38.6 34.9 31.3 28.0 27.1 26.4 25.5 . (°C) Table 1.1 - Temperature over time from Trial 2 Time 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 (min) Temp 78.2 70.7 62.3 55.8 49.5 43.5 39.1 34.5 31.8 28.4 26.7 25.9 26.1 . (°C) Table 1.2 - Temperature over time from Trial 3 Time 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 (min) Temp 78.7 70.0 62.3 55.2 50.0 43.9 39.2 35.0 31.1 28.2 26.9 26.3 25.5 . (°C) Processed Data Table 1.3 - Mean temperature over time Time 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 (min) Temp 78.6 70.2 62.5 55.4 49.8 43.8 39.0 34.8 31.4 28.2 26.9 26.2 25.7 . (°C) Figure 1 - Mean temperature plotted against time for a cup of hibiscus tea A horizontal asymptote at t = 22.4 was added to Figure 1.0 to represent the measured ambient temperature. According to Boyle's gas law, a substance cannot decrease its temperature below that of its environment. This explains why the data approaches 22.4°C rather than continuing downwards in a straight line. The graph shows a negative correlation between temperature and time, together with a curved shape that resembles exponential decay. Temperature falls by 8.4°C in the first five minutes, but only by 0.5°C in the final five minutes. The changing differences imply that a linear equation would not be suitable for the full domain. Also, the y-intercept represents the measured initial temperature, so when t = 0, T = 78.6°C. Producing a Suitable Equation - Attempt A I began by using the appearance of Figure 1.0 rather than applying a known physical law. Since temperature T was plotted against time t, I treated T as y and t as x. An exponential curve with a negative slope can first be represented by raising e to the power of negative time: 𝑇(𝑡) = 𝑒 −𝑡 The entire graph has to be translated upward by the ambient temperature. This creates the translation constant T_a: 𝑇(𝑡) = 𝑒 −𝑡 + 𝑇𝑎 𝑇(𝑡) = 𝑒 −𝑡 + 22.4 This first expression includes the correct horizontal asymptote, but it still has an initial value of only 23.4°C. I graphed it to understand which transformations were missing before calculating parameters from the experimental values. Figure 1.1 - The preliminary model T(t) = e⁻ᵗ + 22.4 Although an exponential relationship is present and the curve approaches the correct asymptote, this graph does not resemble the observed cooling process. Almost all the change occurs close to t = 0. For the positive values of time used in my experiment, the function immediately becomes indistinguishable from 22.4°C. The function must therefore be stretched horizontally so that the cooling takes place across sixty minutes. It must also be stretched vertically so that its y-intercept is close to 78.6°C. Let k represent the horizontal stretch factor and m represent the vertical stretch factor. A more useful general expression is: 𝑇(𝑡) = 𝑚𝑒 −𝑘𝑡 + 𝑇𝑎 𝑇(𝑡) = 𝑚𝑒 −𝑘𝑡 + 22.4 The constant m controls the distance between the initial temperature and the asymptote, while k controls the speed of cooling. Both constants should be positive when the negative sign is already included in the exponent. A larger k would make the tea cool more quickly. Values for these constants can be found by using two points from Table 1.3. For Attempt A, I selected the first and last mean observations. These points cover the entire experimental interval and therefore should create the most representative model. This method does not use the intermediate points directly, which is one weakness, but the two endpoints provide two equations for the two unknown constants. Determining the Constants for Attempt A Beginning with the transformed exponential equation: 𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑚𝑒 −𝑘𝑡 Natural logarithms can be used to remove the exponential term: ln(𝑇 − 𝑇𝑎 ) = ln(𝑚) − 𝑘𝑡 Substituting the first point (0, 78.6) and the last point (60, 25.7) gives the following simultaneous equations. All values are kept unsimplified instead of being rounded to three significant figures, in order to ensure the utmost accuracy of the model. ln(78.6 − 22.4) = ln(𝑚) − 0𝑘 ln(25.7 − 22.4) = ln(𝑚) − 60𝑘 Table 1.4 - Simultaneous equations used to determine m and k Equation 1 Equation 2 ln(56.2) = ln(m) ln3.3 = ln(m) − 60k ln(m) = 4.02892 1.19392 = ln(m) − 60k Subtracting Equation 1 from Equation 2 eliminates ln(m): −60𝑘 = ln(3.3) − ln(56.2) 𝑘 = 0.047250 The value of m follows directly from Equation 1: 𝑚 = 𝑒 ln(56.2) = 56.2000 Equation A Substituting m = 56.2000, k = 0.047250 and T_a = 22.4 into the general expression produces Equation A: 𝑇(𝑡) = 56.2000𝑒 −0.047250𝑡 + 22.4 Equation A The equation returns T(0) = 78.6°C and T(60) = 25.7°C, so the two points used in its construction are exact. Because it contains a negative exponential, it also approaches 22.4°C as t becomes large. These features agree with the principal observations from Figure 1.0. Figure 1.2 - Equation A compared with the collected mean temperatures The black curve follows the general trend of the red data points. However, Equation A underpredicts several observations between 10 and 35 minutes. It only fits the endpoints perfectly because those were the points selected for the simultaneous equations. The deviation may be caused by small changes in air change, the thermal mass of the mug or the rate of evaporation. Real cooling data cannot be expected to follow a mathematical function exactly. Nevertheless, the repeated pattern of residuals suggests more than random error. A method which uses every transformed data point may create a more reliable value for k and reduce the influence of one anomalous measurement. Producing a Suitable Equation - Attempt B In Attempt B I linearised the collected data. When a relationship is linear, the gradient and intercept can be estimated using all observations rather than only two. This should account better for natural fluctuations and makes it easier to judge whether an exponential relationship is appropriate. Starting from the same general expression: 𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑚𝑒 −𝑘𝑡 ln(𝑇 − 𝑇𝑎 ) = ln(𝑚) − 𝑘𝑡 This has the linear form y = mx + c: ln(𝑇 − 𝑇𝑎 ) = (−𝑘)𝑡 + ln(𝑚) 𝑦 = ln(𝑇 − 𝑇𝑎 ), 𝑚𝑥 = 𝑘𝑡, 𝑐 = ln(𝑚) Therefore, I plotted ln(T − T_a) on the y-axis against time on the x-axis. If the points are approximately linear, the original temperature data can be treated as exponential. The processed logarithms are shown below. Because logarithms have no units, the transformed values are recorded without °C. Table 1.5 - Values of ln(T − Tₐ) plotted against time Time 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 (s) ln(T − 4.0 3.8 3.6 3.4 3.3 3.0 2.8 2.5 2.1 1.7 1.5 1.3 1.19 Tₐ) 29 67 91 97 11 63 09 18 97 58 04 35 4 The use of a mean ambient temperature is important here. If T_a were changed for every row, the logarithmic transformation would no longer describe one function. I therefore maintained T_a = 22.4°C even though the room thermometer varied slightly. Figure 1.3 - Linearised graph of ln(T − Tₐ) plotted against time The transformed points are distributed closely around the line of best fit, though the later points curve below the line. The coefficient of determination is approximately 0.9871, meaning that 98,71% of the variation in temperature is explained by time. This high value supports the use of a exponential equation. From the regression output: 𝑦 = −0.050997𝑥 + 4.20430 Comparing this with ln(T − T_a) = −kt + ln(m), the gradient equals −k and the intercept equals ln(m). Therefore: 𝑘 = 0.050997, 𝑚 = 𝑒 4.20430 = 66.9735 Substituting both constants gives the second model: 𝑇(𝑡) = 66.9735𝑒 −0.050997𝑡 + 22.4 Equation B Equation B does not pass exactly through the first or last data point because the regression considers all thirteen values. Its y-intercept is 89.37°C, which is higher than the recorded starting temperature. This is an unexpected outcome of the line of best fit and will be considered when the models are compared. Figure 1.4 - Equation B compared with the collected mean temperatures Equation B follows the data during most of the monitored interval, but it overpredicts the temperature at t = 0 and underpredicts some temperatures around 20-35 minutes. The deviation in the beginning is greater than for Equation A. In the final twenty minutes, however, the curve is relatively close to the observations. The linearisaton uses every point, but the logarithmic transformation changes the influence of errors. A difference of 1°C near the ambient temperature produces a much larger proportional change in ln(T − T_a) than the same error at a high temperature. Consequently, fitting the transformed values does not necessarily minimise the errors measured in degrees Celsius. Producing a Suitable Equation - Attempt C Since both equations were created mainly from the shape of the experimental graph, I completed additional research. Newton's Law of Cooling, first investigated in the early eighteenth century, states that the rate of heat loss of a body is directly proportional to the temperature difference between the body and its environment (OpenStax, 2021). In mathematical notation: 𝑑𝑇 ∝ (𝑇 − 𝑇𝑎 ) 𝑑𝑡 Because the hibiscus tea is cooling, the instantaneous change in temperature must be negative. Introducing a positive constant k gives: 𝑑𝑇 = −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎 ) 𝑑𝑡 Solving the Differential Equation: The variables temperature and time can be seperated: 1 𝑑𝑇 = −𝑘 𝑑𝑡 𝑇 − 𝑇𝑎 Integrating both sides gives: 1 ∫ 𝑑𝑇 = ∫ − 𝑘 𝑑𝑡 𝑇 − 𝑇𝑎 ln|𝑇 − 𝑇𝑎 | = −𝑘𝑡 + 𝐶 Taking e to the power of both sides removes the logarithm: 𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑒 −𝑘𝑡+𝐶 = 𝑒 𝐶 𝑒 −𝑘𝑡 The value e^C is another positive arbitrary constant, which I labelled Z. Rewriting the solution with temperature as a function of time gives: 𝑇(𝑡) = 𝑍𝑒 −𝑘𝑡 + 𝑇𝑎 where T is temperature in degrees celsius, t is time in minutes, T_a is the ambient temperature, k is the cooling coefficient and Z is a constant set by an initial condition. For this experiment the room temperature is inserted: 𝑇(𝑡) = 𝑍𝑒 −𝑘𝑡 + 22.4 The derived solution has the same form as my earlier equations, but it is now justified by a differential equation. Newtons law assumes a constant surrounding temperature and a rate coefficient which does not change during the process. These assumptions simplify the combined effects of convection, conduction, radiation and evaporation into one constant. Determining the Constants for Attempt C To determine Z and k, I chose two intermediate observations rather than the endpoints. I used T = 55.4°C at t = 15 minutes and T = 28.2°C at t = 45 minutes. The first point is after the steepest early cooling and the second is close to the drinking threshold, so they should better represent the useful part of the curve. I 55.4 = 𝑍𝑒 −15𝑘 + 22.4 II 28.2 = 𝑍𝑒 −45𝑘 + 22.4 Table 1.6 - Simultaneous equations used to determine Z and k Equation 1 Equation 2 33.0 = Ze⁻¹⁵ᵏ 5.8 = Ze⁻⁴⁵ᵏ ln(33.0) = ln(Z) − 15k ln(5.8) = ln(Z) − 45k 3.49651 = ln(Z) − 15k 1.75786 = ln(Z) − 45k Subtracting Equation 1 from Equation 2 removes ln(Z): ln(5.8) − ln(33.0) = −30𝑘 𝑘 = 0.057955 This value is positive, as expected for a decreasing exponential model. I retained six decimal places to prevent the final predicted time from being affected by premature rounding. Equation C Substituting k into Equation 1 determines Z: 𝑍 = (33.0)𝑒 15(0.057955) = 78.7149 The third model is therefore: 𝑇(𝑡) = 78.7149𝑒 −0.57955𝑡 + 22.4 Equation C This equation passes exactly through the observations at 15 and 45 minutes. It also approaches the horizontal asymptote of 22.4°C, satisfying the physical limitation used throughout the exploration. However, its predicted original value is 101.11°C because T(0) = 78.7149 + 22.4. This is impossible for water prepared at 90°C and differs substantially from the recorded 78.6°C. Figure 1.5 - Equation C compared with the collected mean temperatures The largest discrepancy occurs at the beginning. As time increases, the curve moves closer to the data and is especially accurate around the two chosen points. The x-axis is displayed in seconds by the graphing software, although the numerical time values were entered in five-minute intervals. Comparing All Three Developed Models To compare the models numerically, I calculated the temperature predicted by each equation for every recorded time. More decimal places are shown for the predicted values than the thermometer could measure because they were generated directly from the equations. Table 1.7 - Recorded and predicted temperature values Time Recorded T (°C) Equation A (°C) Equation B (°C) Equation C (°C) (min) 0 78.6 78.6000 89.4046 101.1149 5 70.2 66.7746 74.3237 81.3127 10 62.5 57.4375 62.6371 66.4922 15 55.4 50.0650 53.5808 55.4000 20 49.8 44.2438 46.5628 47.0983 25 43.8 39.6475 41.1244 40.8850 30 39.0 36.0184 36.9101 36.2347 35 34.8 33.1528 33.6442 32.7544 40 31.4 30.8903 31.1135 30.1495 45 28.2 29.1038 29.1523 28.2000 50 26.9 27.6932 27.6325 26.7409 55 26.2 26.5794 26.4548 25.6489 60 25.7 25.7000 25.5422 24.8316 Equation A is exact at 0 and 60 minutes, Equation C is exact at 15 and 45 minutes, and Equation B is not exact at any point because it was generated through regression. Visual comparisons alone do not identify the strongest model, so I used the root mean square error. Root Mean Square Error RMSE is the standard deviation of the residuals, which are the differences between the recorded temperatures and the values predicted by a model. Squaring prevents positive and negative residuals from cancelling. A lower result shows that the regression line is a better suit for the data. 𝑛 1 2 RMSE = √ ∑(𝑇𝑖 − 𝑇̂𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 Table 1.8 - Root mean square error of each equation Model RMSE (°C) Method used Equation A 3.130 First and last observations Equation B 3.530 Linear regression of logarithms Equation C 7.214 Newton model using t = 15 and 45 Figure 1.6 - All three equations compared with the collected data Equation A has the smallest full-data RMSE, although Equation B is similar. Equation C has the highest error because its extrapolated starting temperature is much too high. This initially suggests that Equation A is the strongest model for the entire sixty-minute interval. Interpretation of the Model Comparison The relative success of Equation A can be linked to its algebraic derivation. It was constructed from the first and last observed values, and its rate constant describes the overall change during the experiment. Its predictions are not exact in the middle, but the errors are spread across the full domain. The model is specific to this mug, volume and room, so the same constants should not be assumed for another cooling process. Equation B also produces a reasonable RMSE. The linearisation uses every point and reduces the influence of high temperature residuals, but the transformed regression has a higher intercept than the actual data. The value R² = 0.9871 seems very high, yet this statistic applies to ln(T − T_a), not to temperature itself. It is possible for a line to fit the transformed graph well while producing larger errors after transforming back. Equation C is the least accurate if all readings are included. Its main flaw is the assumption that the room remained exactly 22.4°C. As the tea cooled, the air immediately surrounding the mug would of increased in temperature. The difference between the tea and its environment therefore became smaller than the model assumed, slowing the real cooling process. The mug also stored heat and returned part of it to the liquid, which is not represented by a single constant k. On closer observation, the underprediction and overprediction from Equation C are concentrated at the start. The research question is not concerned with the initial temperature; it asks when the tea falls below 45°C. This happens after about twenty minutes. Therefore, the early error may be less important for the practical purpose even though it increases the overall RMSE considerably. To test this, I removed the predicted and recorded values from the first ten minutes and recalculated the RMSE of Equation C. This adapted comparison begins at t = 10 and keeps the data near the drinking threshold. Removing these values is justified because I would never drink the tea immediately after brewing. Adapted Comparison of Equation C Figure 1.7 - Equation C compared with the data after disregarding the first ten minutes Table 1.9 - Adapted RMSE for Equation C Comparison RMSE (°C) Equation C, all values 7.214 Equation C, t ≥ 10 minutes 1.991 After disregarding the first ten minutes, the calculated RMSE decreases from 7.214 to 1.991°C. This is smaller than the RMSE of Equations A and B calculated over the whole interval. The improvement shows that Equation C becomes more accurate at higher values of time, especially once the tea is close to the lower end of its preferred temperature range. The comparison is not completely equal because Equation C is now tested with fewer data points than Equations A and B. Nevertheless, it answers the investigation more directly. I therefore selected Equation C as the most suitable equation for predicting when the tea is no longer acceptably hot. It is based on a physical law, fits the later measurements, and contains the required ambient-temperature asymptote. The adapted graph still contains residuals of approximately 2-3°C between 20 and 35 minutes. A prediction near 45°C can consequently be incorrect by several minutes. This limitation should be remembered when a single maximum waiting time is calculated. Answering the Original Question The original question asks for the time required for the hibiscus tea to cool below 45°C. I used Equation C and set T = 45: 45 = 78.7149𝑒 −0.057955𝑡 + 22.4 45 − 22.4 = 𝑒 −0.057955𝑡 78.7149 22.6 ln ( ) = −0.057955𝑡 78.7149 −1.2480 𝑡= = 21.53 −0.057955 𝑡 ≈ 22 minutes I can therefore conclude that approximately 22 minutes is the maximum amount of time which can elapse before my hibiscus tea is no longer considered hot. This agrees with the raw data because the temperature is 49.8°C at 20 minutes and 43.8°C at 25 minutes. Linear interpolation between these readings would place 45°C at around 24 minutes, which is reasonably close to the model. If I begin drinking within twenty minutes, the model predicts the tea will remain above my chosen minimum. The result is specific to the 300 mL volume and ceramic mug, so it should not be treated as a universal value for hibiscus tea. Even so, the investigation has transformed an ordinary routine into a practical use of exponential functions, logarithms and differential equations. Reflection The mathematics developed from a visual conjecture into a physically motivated model. Attempt A demonstrated transformations of e⁻ᵗ, Attempt B used linear regression, and Attempt C connected the same form to a differential equation. Comparing the models with RMSE made the final choice less dependent on appearance alone, although the adapted comparison was necessary for the research question. Limitations and Possible Improvements The most significant limitation is the treatment of ambient temperature as constant. The measured room temperature varied by approximately 0.3°C, and the air beside the mug may have been warmer than the air measured farther away. A future experiment could use a second temperature probe next to the mug and model T_a as a function of time instead of a fixed asymptote. The five-minute sampling interval was also too large during the beginning, when temperature changed quickly. Recording every minute would create more data for the regression and make the crossing of 45°C easier to identify. More than three trials would improve the reliability of the mean and permit uncertainty intervals. I did not propagate the ±0.1°C thermometer resolution through the logarithm or the final value of t. A second improvement would be to measure mass rather than volume because evaporation reduced the amount of liquid during the hour. Covering the cup would reduce evaporation but also change the cooling mechanism, so both covered and uncovered mugs could be compared. Different mug materials and surface areas would allow the constant k to be interpreted rather than only fitted. The model assumes one uniform temperature throughout the tea. In reality, the liquid near the surface and the wall may be cooler than liquid in the centre. I stirred only before the first measurement because repeated stirring could increase convection, but this means the probe may not represent the mean temperature of the entire cup. A controlled magnetic stirrer at a low constant speed could make the temperature more uniform. Finally, choosing Equation C after deleting the first ten minutes introduced bias. A better comparison would calculate the RMSE of all three models on exactly the same restricted domain or use a separate validation trial which was not involved in selecting constants. Residual plots could reveal whether the errors are random. A two-term exponential or a model with a variable heat-transfer coefficient may fit the mug and liquid separately, but this would increase complexity and perhaps reduce the clarity of the exploration. Despite these weaknesses, the exploration produced a model that is plausible in the interval relevant to my routine. The final time of about 22 minutes should be interpreted as an estimate, not as an exact rule. Works Cited 1. Brown, Fredericka, and Kenneth R. Diller. “Calculating the Optimum Temperature for Serving Hot Beverages.” Burns, vol. 34, no. 5, 2008, pp. 648-654. doi:10.1016/j.burns.2007.09.012. Accessed 25 Aug. 2026. 2. OpenStax. “4.9 First-order Linear Equations: Newton's Law of Cooling.” Calculus Volume 2, Rice University, 2021, openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/4-key-equations. Accessed August 25, 2026. 3. Ramírez-Rodrigues, Milena M., et al. “Physicochemical and Phytochemical Properties of Cold and Hot Water Extraction from Hibiscus sabdariffa.” Journal of Food Science, vol. 76, no. 3, Apr. 2011, pp. C428-C435, doi:10.1111/j.1750-3841.2011.02091.x. 4. Lienhard, John H., and John H. Lienhard. A Heat Transfer Textbook. 5th ed., Phlogiston Press, 2019. ahtt.mit.edu. 5. Khan Academy. “Newton's Law of Cooling.” Differential Equations, 2022, www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/exponential- models-diff-eq/v/newtons-law-of-cooling. Accessed 25 Aug. 2026. 6. Abraham, John P., et al. “A Review of Hot Beverage Temperatures-Satisfying Consumer Preference and Safety.” Journal of Food Science, vol. 84, no. 8, 2019, pp. 2011-2014. https://doi.org/10.1111/1750-3841.14699. All experimental temperatures and graphs in this exploration were produced for the investigation. Calculations were completed using a spreadsheet and checked with graphing software. ## Dokument 2: Übergebene deutsche Korrektur (unverändert) Vollständige Bewertung der Mathematics-AA-SL-Exploration „Formulating a Suitable Equation to Model the Cooling Process of Hibiscus Tea“ Strenge Moderationsperspektive | Ziel: bestmögliche Voraussetzungen für eine 7 Bewertungsstand: 27. August 2026 Geprüfte Fassung: 22 PDF-Seiten, davon 2 Seiten Literaturverzeichnis Kurs: IB Mathematics: Analysis and Approaches, Standard Level 1. Gesamturteil Die Exploration hat eine gute Grundidee, einen glaubwürdigen persönlichen Ausgangspunkt, selbst erhobene Daten und eine sinnvolle Verbindung von Exponentialfunktionen, Logarithmen, Regression, Differentialgleichungen und Modellkritik. Das ist eine deutlich bessere Ausgangslage als bei vielen durchschnittlichen IAs. In der vorliegenden Fassung verhindern jedoch mehrere entscheidende mathematische Inkonsistenzen eine sichere Spitzennote. Besonders schwer wiegen: In Gleichung C steht einmal statt - ein Faktor-10-Fehler. Die Parameter von Gleichung B stimmen zwischen Regressionsgrafik, Text, Gleichung, Wertetabelle und RMSE nicht überein. Die Modelle werden nicht auf derselben Datenmenge verglichen. Der Schluss, Gleichung C sei für den relevanten Bereich am besten, ist mit den angegebenen Daten falsch. Das berichtete angepasste RMSE von ist nicht reproduzierbar. Aus Tabelle 1.7 ergibt sich für ungefähr . „Boyle’s gas law“ erklärt die Annäherung an die Raumtemperatur nicht. Einheiten, Variablennamen, Achsenbeschriftungen und Genauigkeit sind mehrfach inkonsistent. Mein strenges, aber realistisches Moderationsurteil lautet deshalb derzeit 15/20 Punkten; je nach Gewichtung der Kommunikations- und Reflexionsfehler ist eine Spanne von 14-16/20 plausibel. Nach einer sauberen mathematischen Überarbeitung ist 18-20/20 erreichbar. Wichtig: Eine Math-IA erhält keine eigenständige Fachnote von 1 bis 7. Sie wird mit maximal 20 Rohpunkten bewertet und zählt in Mathematics AA SL 20 % zur Fachnote. Ob die Gesamtnote 7 erreicht wird, hängt zusätzlich von den Prüfungen und den jeweiligen Session-Grenzen ab. 2. Verwendete aktuelle IB-Grundlage Für eine Einreichung vor der ersten Prüfungsrunde Mai 2029 gelten weiterhin die fünf Kriterien des gegenwärtigen Mathematics-AA-Kurses: Kriterium | Maximum | Kernanforderung A: Presentation | 4 | kohärent, gut organisiert und prägnant B: Mathematical communication | 4 | relevante, angemessene und durchgehend konsistente mathematische Kommunikation C: Personal engagement | 3 | eigenständige, authentische und die Untersuchung vorantreibende Auseinandersetzung D: Reflection | 3 | substanzielle kritische Reflexion im Verlauf der Exploration E: Use of mathematics - SL | 6 | relevante, korrekte Mathematik auf Kursniveau mit gründlichem Verständnis Die neue Kriterienstruktur mit „Problem specification, Abstraction, Computation, Interpretation“ gilt erst für den neuen Kurs mit erstem Unterricht ab August 2027 und erster Prüfung im Mai 2029. Sie darf für eine gegenwärtige IA nicht anstelle der oben genannten Kriterien verwendet werden. 3. Voraussichtliche Bewertung nach allen Kriterien Kriterium | Prognose | Begründung | Weg zur Höchstpunktzahl A: Presentation | 3/4 | Klarer Aufbau von Fragestellung bis Schluss; Grafiken stehen meist an der richtigen Stelle. Nicht vollständig prägnant: drei sehr ähnliche Parameterschätzungen werden lang dargestellt, Nummerierungen sind inkonsistent, Seitenzahl und Seitennavigation sind fehlerhaft. | Wiederholungen kürzen, Tabellen zusammenführen, Seitenzahlen ergänzen, Abbildungs- und Tabellenverweise vereinheitlichen, zentrale Modellentscheidung früher und klarer führen. B: Mathematical communication | 2/4 | Viele passende Darstellungsformen, aber mehrere wesentliche Inkonsistenzen: statt , Sekunden statt Minuten, Faktor-10-Fehler, fehlende Parametereinheiten, Symbolkonflikt , unterschiedliche Regressionsparameter. | Eine eindeutige Symboltabelle verwenden; jede Gleichung, Achse, Tabelle und Einheit prüfen; alle Zahlen aus einer einzigen reproduzierbaren Regressionsrechnung ableiten. C: Personal engagement | 2/3 | Persönliche Teeroutine, eigener Schwellenwert und eigene Messungen sind authentisch. Ein Teil der Entwicklung wirkt jedoch nachträglich „für die IA gebaut“, besonders der inszenierte Übergang von Versuch A über B zu C und die Auswahl zweier günstiger Punkte. | Eine echte Entscheidung sichtbar machen: Vorhersage formulieren, Residuen untersuchen, eine Parameterschätzung begründet verwerfen, mindestens einen Trial als Validierung verwenden. D: Reflection | 3/3, knapp | Es gibt wiederholt gute Reflexion: Transformationsfehlergewichtung, unmögliche Anfangstemperatur, Modellgrenzen, ungleicher Vergleich und mögliche Verbesserungen werden angesprochen. Die Qualität wird allerdings dadurch geschwächt, dass der erkannte unfaire Vergleich trotzdem als Entscheidungsgrundlage dient. | Die erkannte Schwäche tatsächlich mathematisch beheben; Konsequenzen jeder Einschränkung quantifizieren statt nur aufzuzählen. E: Use of mathematics - SL | 5/6 | Relevante und überwiegend richtige Mathematik; die Differentialgleichung liegt sogar über dem typischen SL-Niveau und wird größtenteils verstanden. Der falsche Exponent, die inkonsistente Regression, das falsche RMSE und die nicht haltbare Modellwahl verhindern „durchgehend korrekt“. | Nichtlineare Regression direkt in , fairer Vergleich, reproduzierbare Residuen/RMSE, Unsicherheits- oder Sensitivitätsanalyse und fehlerfreie Notation. Gesamt | 15/20 | Gute, aber noch nicht sichere Top-IA. | Realistisches Ziel nach Überarbeitung: 19/20. 4. Vollständige, durchnummerierte Fehler- und Risikotabelle 4.1 Form, Aufbau, Datenerhebung und Darstellung Nr. | Fundstelle | Fehler bzw. Risiko und warum es relevant ist | Konkrekte Korrektur oder Alternativtext 1 | Titelseite | „15 pages“ stimmt nicht mit der Datei überein. Die PDF hat 22 Seiten; ohne das zweiseitige Literaturverzeichnis sind es 20 Seiten. Eine falsche Seitenangabe wirkt unkontrolliert und betrifft Kriterium A/B. | Seitenzahl nach der Endfassung neu zählen. Zum Beispiel: “20 pages excluding the bibliography”. 2 | Gesamtdokument | Es fehlen sichtbare Seitenzahlen. Bei einer langen Exploration erschwert das Moderation, Querverweise und Feedback. | Seitenzahlen in die Fußzeile aufnehmen; Titelseite optional ohne sichtbare Zahl, aber mitzählen. 3 | Titelseite | „An exploration into Cooling Process“ ist grammatisch unvollständig und unnatürlich. | “An exploration of the cooling process of hibiscus tea” oder die Zeile ganz entfernen. 4 | Gesamtdokument | Die Arbeit liegt mit 20 Seiten ohne Bibliografie an der oberen empfohlenen Grenze und wirkt teilweise einfachzeilig. Entscheidend ist zwar Qualität statt Länge, doch unnötige Wiederholung gefährdet die 4 in Kriterium A. | Rohdatentabellen zusammenführen, elementare Transformationen kürzen und drei nahezu gleiche Modellgrafiken auf eine Vergleichsgrafik reduzieren. Ziel: etwa 15-17 gehaltvolle Seiten ohne Inhaltsverlust. 5 | Tabellen 1-1.9 | Die Nummerierung mischt „Table 1“, „Table 1.1“, „Table 1.2“ usw. Das wirkt wie Untertabellen, obwohl es eigenständige Tabellen sind. | Fortlaufend Table 1, Table 2, … verwenden oder bewusst Table 1a-1d für zusammengehörige Datentabellen. 6 | Figures 1-1.7 | Im Text stehen „Figure 1.0“ und „Figure 1“, während die Beschriftungen „Figure 1“, „Figure 1.1“ usw. verwenden. | Eine fortlaufende Nummerierung wählen und jeden Verweis exakt daran anpassen. 7 | Forschungsfrage | „for say 300 mL“ enthält Füllsprache und klingt nicht wissenschaftlich präzise. | “How accurately does Newton’s law of cooling model the cooling of 300 mL of hibiscus tea, and what time does the model predict for the temperature to fall below in a room at ?” 8 | Forschungsfrage | „How accurately“ ist nicht operationalisiert. Es bleibt offen, ob Genauigkeit über RMSE, Schwellenzeit, Residuen oder einen Validierungs-Trial bewertet wird. | Direkt nach der Frage festlegen: “Accuracy will be assessed using RMSE in degrees Celsius, residual plots, and the error in the predicted crossing time on a separate validation trial.” 9 | Introduction | „Temperature is continuous“ wird als Tatsache statt als Modellannahme präsentiert; gemessen wird diskret. | “I modelled temperature as a continuous function of time, although the experimental readings were taken at discrete five-minute intervals.” 10 | Introduction | „the surrounding room places a lower restriction“ ist physikalisch zu absolut; Verdunstung kann eine Flüssigkeit unter die trockene Umgebungstemperatur abkühlen. | “Under the simplified Newton cooling model, and neglecting evaporative cooling below ambient temperature, the room temperature is the long-term equilibrium value.” 11 | Introduction | Grammatik: „The bright red colour and sour taste makes“. Ein zusammengesetztes Subjekt verlangt „make“. | “The bright red colour and sour taste make the drink especially enjoyable.” 12 | Introduction | „thermal equillibrium“ ist falsch geschrieben. | “thermal equilibrium”. 13 | Introduction | Die Begründung „hibiscus tea is less viscous than coffee“ ist unbelegt und stellt keinen nachvollziehbaren Zusammenhang zur bevorzugten Trinktemperatur her. | Entfernen oder ehrlich persönlich formulieren: “I chose from repeated personal trials; it is therefore a subjective usability threshold rather than a universal preference.” 14 | Background | Der Absatz zur Anthocyanin-Extraktion trägt kaum zur mathematischen Fragestellung bei und kostet Prägnanz. | Auf einen Satz kürzen: “I used the same hot-infusion procedure in each trial so that preparation differences would not dominate the cooling data.” 15 | Methodology | Die drei tatsächlichen Raumtemperaturen werden nicht als Rohdaten gezeigt. Damit ist der Mittelwert nicht reproduzierbar. | Für jeden Trial Anfangs-, End- und Mittelwert der Raumtemperatur angeben oder die Zeitreihe in einer kleinen Tabelle zeigen. 16 | Methodology | „A fluctuation of about “ ist mehrdeutig: Messunsicherheit, beobachtete Spannweite oder Abweichung vom Mittelwert? | “During the trials the room reading ranged from … to … ; the thermometer resolution was … .” 17 | Methodology | „Using three trials should eliminate random errors“ ist falsch. Wiederholungen beseitigen Zufallsfehler nicht, sondern ermöglichen eine Schätzung und können ihren Einfluss auf den Mittelwert reduzieren. | “Three repeated trials do not remove random error, but they allow the variability of the measurements to be estimated and reduce its effect on the mean.” 18 | Methodology | Auflösung und Unsicherheit werden vermischt. Eine Anzeige auf ist nicht automatisch eine Messunsicherheit von . | Herstellerangabe oder Kalibrierung nennen; sonst vorsichtig zwischen resolution und estimated measurement uncertainty unterscheiden. 19 | Methodology | Zeitmessungsunsicherheit, Verzögerung beim Ablesen und mögliche Probe-Trägheit fehlen. Diese Effekte sind gerade nahe der Schwelle relevant. | Timerauflösung, typische Ablesedauer und Ansprechzeit der Sonde nennen; Einfluss qualitativ oder per Sensitivitätsanalyse prüfen. 20 | Raw data | Drei nahezu identische Tabellen verbrauchen viel Raum und erschweren den direkten Vergleich. | Eine Tabelle mit Spalten , , , Mittelwert und Standardabweichung erstellen. 21 | Processed data | Es wird nur der Mittelwert berichtet. Ohne Standardabweichung oder Fehlerbalken ist die Reproduzierbarkeit der Trials unsichtbar. | Für jede Zeit berechnen und in Tabelle/Grafik als Fehlerbalken zeigen. 22 | Processed data | Erst zu mitteln und danach nur die Mittelkurve zu modellieren versteckt die Variabilität der Parameterschätzungen und der Schwellenzeit. | Zusätzlich jedes Trial separat fitten oder mindestens die -Zeit pro Trial berechnen. 23 | Figure 1 | Nur Farbe trennt Punkte und Asymptote. Das ist für Graustufendruck und Farbsehschwäche ungünstig. | Unterschiedliche Marker und Linienarten verwenden; Legende nicht nur über „red/black“ beschreiben. 24 | Rohdaten/Methodik | Luftfeuchte wird als nicht kontrollierbar genannt, aber nicht gemessen. Da Verdunstung als Erklärung verwendet wird, bleibt diese Behauptung unbelegt. | Entweder Luftfeuchte messen oder Verdunstung nur als mögliche, nicht nachgewiesene Ursache bezeichnen. 4.2 Mathematik, Modellierung und Statistik Nr. | Fundstelle | Fehler bzw. Risiko und warum es relevant ist | Konkrekte Korrektur oder Alternativtext 25 | Nach Figure 1 | „A horizontal asymptote at “ verwechselt Zeit und Temperatur. | “A horizontal asymptote at was added.” 26 | Nach Figure 1 | Boyle’s law erklärt diesen Sachverhalt nicht. Boyle beschreibt bei konstanter Temperatur die Beziehung zwischen Druck und Volumen eines Gases. | “In the simplified Newton cooling model, the net heat transfer tends to zero as approaches the ambient temperature .” 27 | Nach Figure 1 | „a substance cannot decrease its temperature below that of its environment“ ist zu absolut und widerspricht möglichen Verdunstungseffekten. | “Without an additional cooling mechanism such as evaporation, the Newton model approaches asymptotically and does not cross it.” 28 | Nach Figure 1 | „negative correlation“ ist für eine gekrümmte Zeitreihe unpräzise; ein Korrelationskoeffizient wird nicht berechnet. | “The data show a monotonic, nonlinear decrease in temperature with time.” 29 | Attempt A | Der Einstieg ist dimensionsmäßig unvollständig: Die rechte Seite ist dimensionslos, hat Temperatureinheiten. | Als reine Form zuerst schreiben; erst nach Skalierung verwenden, wobei in und in angegeben werden. 30 | Attempt A | wird als „horizontal stretch factor“ bezeichnet. In ist die charakteristische Zeitskala; ist eine Rate. | “The cooling-rate constant has units ; the characteristic time is .” 31 | Attempt A | wird als vertikaler Streckfaktor behandelt, aber seine Einheit fehlt. | Besser verwenden und definieren: “ is the initial excess temperature, measured in .” 32 | Attempt A | „first and last observations … should create the most representative model“ ist nicht begründet. Endpunkte können Messfehler enthalten; Zwischenwerte werden ignoriert. | “This endpoint estimate captures the total observed change, but it is sensitive to both endpoint measurements and is used only as a preliminary benchmark.” 33 | Determining constants A | „utmost accuracy“ und sechs Dezimalstellen sind bei auf gerundeten Temperaturen eine Scheingenauigkeit. | Intern ungerundet rechnen, Ergebnisse aber angemessen berichten, z. B. und die verwendete Rechengenauigkeit erklären. 34 | Logarithm steps | nimmt formal den Logarithmus einer dimensionsbehafteten Größe. Die Aussage „logarithms have no units“ löst dieses Problem nicht. | Eine dimensionslose Größe definieren: und dann verwenden. Für SL genügt alternativ die klare Erklärung, dass die numerischen Werte der Temperaturdifferenz in logarithmiert werden. 35 | Attempt B | Das Symbol steht bereits für die Exponentialamplitude und wird gleichzeitig in als Steigung benutzt. Das macht die Zuordnung unnötig mehrdeutig. | Für die Gerade verwenden: und . 36 | Attempt B | Die Zeile „“ hat das falsche Vorzeichen und ist keine saubere Variablenzuordnung. | Schreiben: , , , , also . 37 | Table 1.5 | Der Tabellenkopf lautet „Time (s)“, obwohl alle Messungen und Rechnungen Minuten verwenden. | “Time (min)”. 38 | Attempt B | „If were changed for every row, … would no longer describe one function“ ist mathematisch falsch. Ein zeitabhängiges ergibt weiterhin eine Funktion, nur nicht mehr diese einfache linearisierte Form. | “Using a time-dependent ambient temperature would lead to a non-autonomous differential equation and would invalidate this simple linearisation.” 39 | Figure 1.3 | „98.71% of the variation in temperature is explained by time“ interpretiert falsch. Die Regression bezieht sich auf , nicht auf . | “ means that 98.70% of the variation in the transformed response is accounted for by its linear relation with time in this data set.” 40 | Figure 1.3 | Grammatik: „a exponential equation“. | “an exponential equation”. 41 | Regression B | Die Grafik zeigt ungefähr , der Text verwendet und . Aus den in Tabelle 1.3 gerundeten Werten folgt dagegen . | Eine einzige ungerundete Regressionsausgabe verwenden. Bei den sichtbaren Mittelwerten: . 42 | Equation B/Table 1.7 | Die Werte in Tabelle 1.7 entsprechen der Grafik-Version von B mit , nicht der gedruckten Equation B mit . Damit sind Gleichung, Tabelle und RMSE nicht gegenseitig reproduzierbar. | Tabelle und RMSE automatisch aus derselben finalen Zellformel bzw. Gleichung erzeugen; Parameter nicht manuell an mehreren Stellen abtippen. 43 | Tabellen 1.7/Parameter | Vier bis sechs Nachkommastellen bei Vorhersagetemperaturen suggerieren eine Genauigkeit, die Messgerät und Modell nicht besitzen. | Für Rechenkontrolle intern mehr Stellen behalten, im Fließtext etwa oder zeigen und Unsicherheit ausdrücklich nennen. 44 | Nach Figure 1.2 | Ein „repeated pattern of residuals“ wird behauptet, aber kein Residuenplot gezeigt. Kriterium E/D verlangt hier Evidenz. | Für jedes Modell einen Plot gegen ergänzen, Nulllinie einzeichnen und Muster interpretieren. 45 | Nach Figure 1.2 | Luftbewegung, thermische Masse und Verdunstung werden als Ursachen der Abweichung genannt, ohne dass sie gemessen oder getrennt wurden. | “Possible explanations include …, but the present data cannot identify which mechanism caused the residual pattern.” 46 | Newton’s law | Die Einheit von fehlt. Dadurch ist auch die Dimensionsprüfung der Differentialgleichung unvollständig. | Direkt definieren: in , und in , in Minuten. 47 | Differentialgleichung | Aus wird ohne Begründung . Das Vorzeichen aus dem Betrag wird stillschweigend verworfen. | “Because all measured temperatures satisfy , is positive; therefore the absolute value may be removed on the observed domain.” 48 | Lösung der DGL | Der freie Parameter wird eingeführt, obwohl seine Bedeutung durch die Anfangsbedingung direkt klar ist. Ohne Einheit bleibt er abstrakt. | verwenden. Dann lautet die Lösung . 49 | Attempt C | Die Begründung der Punkte und ist sachlich schwach. liegt nicht „close to the drinking threshold“ von . | Wenn eine schwellennahe Zweipunktschätzung gewünscht ist, die Punkte bei 20 und 25 Minuten verwenden - besser jedoch alle Daten per nichtlinearer Regression fitten. 50 | Attempt C | Die zwei Punkte werden nach Sichtung der Daten ausgewählt. Das erzeugt Auswahlbias und lässt C im gewählten Bereich künstlich gut aussehen. | Auswahlregel vor der Auswertung festlegen oder einen Trainings-/Validierungsansatz verwenden. 51 | Equation C | Schwerer Tipp-/Rechenfehler: Gedruckt ist . Verwendet wird tatsächlich . Der gedruckte Exponent ist zehnmal zu groß. | Überall einheitlich: . Danach sämtliche Tabellen und Grafiken neu generieren. 52 | Figure 1.5 | Die x-Achse ist „Time (seconds)“, obwohl die Zahlen Minuten sind. Der erläuternde Satz behebt die falsche Grafik nicht. | Achse in der Grafik selbst auf Time (minutes) korrigieren. 53 | Modelle A-C | A, B und C sind nicht drei verschiedene physikalische Modelle. Alle haben die Form ; nur die Parameterschätzung ist verschieden. | Überschrift ändern zu “Comparing three parameter-estimation methods for the same Newton cooling model”. 54 | Modellierung | Gerade weil RMSE in das Vergleichsmaß ist, fehlt die naheliegende Methode: direkte nichtlineare kleinste Quadrate in der ursprünglichen Temperaturskala. | minimieren und das Ergebnis mit der Log-Regression vergleichen. 55 | RMSE section | RMSE ist nicht allgemein „the standard deviation of the residuals“. Das gilt nur unter zusätzlichen Bedingungen und mit anderer Zentrierung/Normierung. | “RMSE is the square root of the mean squared residual and measures the typical prediction error in the original temperature units.” 56 | RMSE section | „a lower result shows that the regression line is a better suit“ ist sprachlich und sachlich ungenau; nicht alle verglichenen Objekte sind Regressionsgeraden. | “When models are evaluated on the same observations, a lower RMSE indicates a closer fit in degrees Celsius.” 57 | RMSE calculations | Es fehlt eine beispielhafte RMSE-Rechnung oder eine eindeutige Spreadsheet-Formel. Dadurch fällt der falsche angepasste Wert nicht auf. | Eine Residuentabelle oder mindestens eine vollständig eingesetzte Rechnung zeigen; Dateiformel/Software nennen. 58 | Table 1.9 | Der Wert für C bei ist aus den angegebenen Werten nicht reproduzierbar. Mit Tabelle 1.7 ergibt sich ungefähr . | RMSE neu berechnen: . 59 | Adapted comparison | C auf wird mit A und B auf verglichen. RMSE-Werte auf unterschiedlichen Beobachtungsmengen sind nicht direkt vergleichbar. | Alle Gleichungen auf demselben Bereich prüfen. Für ergeben sich aus den sichtbaren Daten ungefähr: A , B , C . 60 | Auswahl C | Nach dem fairen Vergleich ist B, nicht C, unter den drei vorhandenen Gleichungen im Bereich am besten. Die zentrale Modellentscheidung der IA ist daher nicht durch die eigenen Daten gedeckt. | Entweder B auswählen oder - besser - direkte nichtlineare Regression einsetzen und auf einer separaten Messreihe validieren. 61 | Interpretation C | Die hohe Anfangstemperatur von C entsteht vor allem durch die Zweipunktschätzung, nicht primär dadurch, dass konstant gesetzt wurde. | “The unrealistic intercept is a consequence of fitting only the 15- and 45-minute observations and extrapolating the resulting curve back to .” 62 | Interpretation | Die Erwärmung der lokalen Luft und die Wärmerückgabe der Tasse werden als feststehende Erklärungen formuliert. Die Daten trennen diese Mechanismen nicht. | Als Hypothesen kennzeichnen und ggf. ein gekoppeltes Tasse-Flüssigkeit-Modell nur als Erweiterung diskutieren. 63 | Ausschluss 0-10 min | „I would never drink the tea immediately“ rechtfertigt nicht automatisch das Entfernen der frühen Werte, denn die gesuchte Zeit wird ab gemessen. | Relevanten Auswertebereich vorab definieren und trotzdem den Zeitursprung beibehalten; alle Methoden auf demselben Bereich fitten und testen. 64 | Validierung | Alle Daten werden zugleich zur Wahl/Fit des Modells und zur Bewertung benutzt. Das ist In-Sample-Güte, keine unabhängige Vorhersagegenauigkeit. | Trial 1 und 2 zum Fitten, Trial 3 als Validierung verwenden; anschließend Rollen rotieren oder einen vierten Validierungs-Trial erheben. 4.3 Schlussfolgerung, Reflexion, Quellen und Sprache Nr. | Fundstelle | Fehler bzw. Risiko und warum es relevant ist | Konkrekte Korrektur oder Alternativtext 65 | Answering the question | Der Modellwert min und die lineare Interpolation min unterscheiden sich um min. „reasonably close“ bleibt ohne Quantifizierung zu vage. | “The model predicts 21.53 min, whereas interpolation of the adjacent observations gives 24.00 min; the model predicts the crossing 2.47 min earlier.” 66 | Schluss | „maximum amount of time“ klingt exakter, als Daten und Modell es erlauben. | “The selected model gives an estimated crossing time of about 22 minutes; the observed five-minute data place the crossing between 20 and 25 minutes.” 67 | Schluss | „If I begin drinking within twenty minutes, the model predicts the tea will remain above …“ ist mehrdeutig: oberhalb der Schwelle beim Beginn oder während des gesamten Trinkens? | “The model predicts that the tea is still above at min.” 68 | Ergebnis | Es gibt kein Unsicherheitsintervall für die Schwellenzeit. Eine einzelne Dezimalzahl ist bei 5-Minuten-Abständen und Modellbias nicht ausreichend. | Interpolation pro Trial berichten: ungefähr 24.15, 23.75 und 24.10 min; Mittelwert min, Stichproben-SD etwa min. Zusätzlich Modellunsicherheit und systematischen Unterschied diskutieren. 69 | Limitations | „More than three trials … permit uncertainty intervals“ ist falsch. Schon drei Trials erlauben eine grobe Streuungsschätzung; mehr Trials machen sie zuverlässiger. | “Three trials allow a preliminary estimate of variability; additional trials would make an uncertainty interval more reliable.” 70 | Limitations | „Recording every minute“ ist sinnvoll, aber nicht auf die Fragestellung zugeschnitten. | Besonders zwischen 18 und 28 Minuten im Abstand von 30-60 s messen; außerhalb dieses Bereichs können größere Intervalle genügen. 71 | Limitations | „measure mass rather than volume because evaporation reduced the amount“ ist unvollständig. Nur die Anfangsmasse zu messen zeigt den Verdunstungsverlauf nicht. | Tasse samt Inhalt während des Versuchs wiegen oder Anfangs- und Endmasse vergleichen; Messung darf den Wärmefluss nicht wesentlich verändern. 72 | Limitations | als Funktion der Zeit vorzuschlagen ist mathematisch anspruchsvoll, aber die daraus entstehende Differentialgleichung wird nicht angegeben. Der Vorschlag bleibt dekorativ. | Entweder eine Sensitivitätsanalyse mit durchführen oder die Gleichung samt Lösungsstrategie erläutern. 73 | Limitations | Ein Magnetrührer verbessert Homogenität, verändert aber zugleich die Konvektion und damit . | Dies ausdrücklich als neues kontrolliertes Versuchsdesign behandeln, nicht als neutrale Korrektur des bestehenden Experiments. 74 | Reflection | Der kurze Abschnitt „Reflection“ fasst vor allem Methoden zusammen. Die stärkste Reflexion steht verteilt in anderen Abschnitten. | Den Abschnitt nutzen, um eine echte Erkenntnis zu formulieren: Warum hat hohe linearisierte -Güte nicht zum kleinsten Temperatur-RMSE geführt, und wie ändert das die Modellwahl? 75 | IA-Ton | „Since both equations were created mainly from the shape … I completed additional research“ klingt wie eine nachträglich inszenierte Rubrik-Erzählung. | “The residual pattern suggested that a fitted exponential alone did not explain why this form should arise, so I derived the model from a rate equation.” 76 | IA-Ton | „The mathematics developed from a visual conjecture into a physically motivated model“ klingt sehr nach Bewertungsraster und wenig nach eigener Denkbewegung. | “At first I chose the exponential form from the graph. Deriving Newton’s law later showed which assumptions were hidden in that choice.” 77 | IA-Ton | „This initially suggests …“, „On closer observation …“, „Nevertheless, it answers the investigation more directly“ wirken formelhaft, besonders weil die mathematische Entscheidung nicht folgt. | Direkte Aussagen mit Zahlen verwenden: “On , model B has RMSE and model C ; therefore B fits this domain more closely.” 78 | IA-Ton | „The investigation has transformed an ordinary routine into a practical use of …“ ist eine typische generische Schlussformel. | “For my preparation method, the data place the crossing between 20 and 25 minutes. The remaining uncertainty is large enough that I would use 20 minutes as a cautious reminder.” 79 | Quellen | Lienhard, Khan Academy und Abraham et al. stehen im Literaturverzeichnis, werden im Text aber nicht eindeutig zitiert. Das erschwert Nachvollziehbarkeit und kann wie Quellenpolsterung wirken. | Jede verwendete Quelle an der konkreten Aussage zitieren; unbenutzte Quellen entfernen. 80 | Bild in Introduction | Das Hibiskusbild hat keine sichtbare Quellenangabe. „All experimental temperatures and graphs …“ deckt ein fremdes Bild nicht ab. | Bild entfernen oder Urheber/URL/Lizenz direkt in einer Bildunterschrift und im Literaturverzeichnis angeben. 81 | Works Cited | Zitierstil, DOI-/URL-Schreibweise und Abrufdaten sind nicht vollständig einheitlich. | Einen Stil durchgehend verwenden, z. B. MLA 9 oder APA 7; DOI möglichst als https://doi.org/.... 82 | OpenStax source | Der angegebene OpenStax-Link „4-key-equations“ verweist nicht eindeutig auf den beschriebenen Newton-Cooling-Abschnitt. | Exakten Abschnittstitel und direkte URL prüfen und zitieren. 83 | Reproduzierbarkeit | „spreadsheet and graphing software“ nennt weder Software, Regressionsoption noch Formelbereich. | Software/Version und Vorgehen nennen, z. B. “I used … to regress on and calculated RMSE with …”; zentrale Rechnung trotzdem im Text erklären. 84 | Sprache | Mehrere Tippfehler schwächen den professionellen Eindruck: „seperated“, „linearisaton“, „Newtons law“, „degrees celsius“, teils fehlende Artikel und uneinheitliche Großschreibung. | Vollständige Rechtschreibprüfung; separated, linearisation, Newton’s law, degrees Celsius. 85 | Akademische Integrität | Wenn Formulierungen oder Rechnungen aus KI-Unterstützung in die endgültige IA übernommen werden, müssen sie nach der aktuellen IB-Regel transparent gekennzeichnet und referenziert werden. Ungekennzeichnete KI-Texte gelten nicht als eigene Arbeit. | Die mathematischen Ideen selbst nachvollziehen und in eigener Sprache neu verfassen. KI-generierte Bestandteile nur entsprechend den Vorgaben der Schule und des IB offenlegen; niemals den Bericht ungeprüft als eigenen Text einreichen. 5. Entscheidender mathematischer Neuaufbau 5.1 Ein Modell, mehrere Schätzmethoden Die Arbeit sollte nicht A, B und C als drei physikalisch verschiedene Modelle darstellen. Die gemeinsame Modellannahme lautet mit der Lösung Die Unterschiede liegen ausschließlich darin, wie und geschätzt werden: Endpunktschätzung, lineare Regression nach Logarithmierung, willkürliche Zweipunktschätzung, direkte nichtlineare Regression in der ursprünglichen Temperaturskala. Die vierte Methode passt am besten zum gewählten Gütemaß RMSE, weil sie unmittelbar minimiert. 5.2 Kontrollrechnung mit den sichtbaren Mittelwerten Bei festem liefert eine direkte nichtlineare Kleinste-Quadrate-Anpassung an die angegebenen Mittelwerte ungefähr wobei in Minuten gemessen wird. Daraus folgen und Diese Zahlen sind eine unabhängige Kontrollrechnung auf Basis der im PDF sichtbaren Werte. Sie müssen in der Originaldatei mit den ungerundeten Messdaten erneut berechnet und selbst nachvollzogen werden. 5.3 Fairer Vergleich der vorhandenen Gleichungen Methode | RMSE, alle Werte | RMSE für min | Vorhersage A: Endpunkte | | | min B: korrigierte Log-Regression | | | min C: Punkte 15/45 | | | min Direkte nichtlineare Regression | | | min Damit ist C weder global noch auf die beste vorhandene Schätzung. Noch wichtiger: Die beobachtete lineare Interpolation zwischen 20 und 25 Minuten ergibt pro Trial ungefähr also einen Mittelwert von etwa min. Der Abstand zum nichtlinearen Modellwert von min beträgt rund min. Genau dieser Unterschied ist wertvolle Reflexion: Die Trial-Streuung ist klein, aber das einfache Ein-Exponential-Modell zeigt einen systematischen Modellfehler. 6. Konkreter Plan für eine Top-Bewertung Priorität 1 - zwingend vor Abgabe Faktor-10-Fehler in Gleichung C und Sekunden/Minuten-Fehler korrigieren. Gleichung B mit genau einem Parametersatz neu erzeugen; Tabelle, Grafik und RMSE automatisch daraus ableiten. Boyle’s law vollständig entfernen und Newtons Modell korrekt erklären. Alle Modelle auf derselben Datenmenge vergleichen. Das falsche angepasste RMSE korrigieren und die Modellwahl neu schreiben. Priorität 2 - stärkster Punktezuwachs Direkte nichtlineare Regression ergänzen. Residuenplot für das bevorzugte Modell zeigen. Trial 3 als unabhängige Validierung verwenden oder einen vierten Trial erheben. Schwellenzeit pro Trial und eine Streuung angeben. Symbol- und Einheitentabelle einführen: , , , , , , RMSE. Priorität 3 - von gut zu sehr gut Arbeit um 3-5 Seiten kürzen, ohne Mathematik zu entfernen. Persönliche Entscheidungen über echte mathematische Konsequenzen zeigen, nicht durch häufiges „I“. Jeden Einschränkungsabsatz mit einer quantitativen Auswirkung verbinden. Unbenutzte Quellen und das unzitierte Bild entfernen. Alle Abbildungen, Tabellen, Seitenzahlen, Einheiten und Dezimalstellen vereinheitlichen. 7. Direkt nutzbare, natürlichere Alternativpassagen Diese Textbausteine sind bewusst sachlich und weniger „rubrikhaft“. Sie sollten nicht ungeprüft übernommen, sondern verstanden und in die eigene Stimme übertragen werden. Forschungsfrage und Bewertungsmaß Research question. How well does Newton’s law of cooling describe the temperature of 300 mL of hibiscus tea in a room at approximately , and what time does the model predict for the tea to fall below my chosen threshold of ? I will assess the model using residuals, RMSE in degrees Celsius, and its error when predicting a trial that was not used to estimate the parameters. Physikalische Modellannahme I treated the room temperature as constant and assumed that the net cooling rate was proportional to the tea’s temperature difference from the room. With and , this gives . Because every recorded tea temperature was above , solving the equation gives , where is the initial excess temperature and is measured in . Modellanpassung Linearising the data is useful for checking whether an exponential pattern is plausible, but it changes the weighting of the errors. Since my final accuracy measure is RMSE in degrees Celsius, I also fitted directly by minimising the squared residuals in the original temperature scale. This avoids choosing two convenient observations and uses every value in the selected training set. Fairer Modellvergleich I compared every parameter-estimation method on the same observations. On the restricted domain min, the RMSE values for A, B and C were approximately , and respectively. Therefore C was not the most accurate of these three estimates on the domain relevant to the threshold. The direct nonlinear fit gave the lowest full-data RMSE, but its residuals still showed a systematic pattern, so the one-exponential model should not be treated as exact. Schlussfolgerung The direct nonlinear model predicts that the tea reaches after about 22.3 minutes. Linear interpolation of the two measurements surrounding the threshold gives about 24.0 minutes. The difference of roughly 1.7 minutes is larger than the variation between the three interpolated trial values, suggesting systematic model error rather than only random measurement variation. I would therefore report a practical crossing window of 22-24 minutes, with the raw observations guaranteeing only that the crossing occurred between 20 and 25 minutes at the present sampling interval. Kritische Reflexion The high value of the linearised graph initially made the exponential model appear stronger than it was. However, described the transformed variable , whereas my practical question concerns errors in degrees Celsius and minutes. Recalculating the fit in the original scale changed the preferred parameter estimates. This showed me that a visually straight transformed graph is evidence for a model form, but not proof that its predictions are the most accurate for the quantity I care about. 8. Quellen zur Bewertung International Baccalaureate, Mathematics: analysis and approaches subject brief - first assessments 2021. International Baccalaureate, Mathematics: analysis and approaches updates - neuer Kurs ab August 2027, erste Prüfung Mai 2029. International Baccalaureate, Artificial intelligence in learning, teaching, and assessment. International Baccalaureate, Academic integrity. International Baccalaureate, Mathematics: analysis and approaches guide, first assessment 2021, öffentlich zugängliche Kopie mit den vollständigen Kriterien. Abschließende Einschätzung Die Arbeit hat großes Potenzial. Entscheidend sind Konsistenz, faire Validierung und ehrliche quantitative Modellkritik, nicht mehr Seiten oder kompliziertere Mathematik. Werden die fünf Hauptfehler behoben und direkte Regression, Residuen und Validierung sauber integriert, ist eine überzeugende Spitzen-IA möglich.