Rohmessung
Spannung, Zeit, Masse, Temperatur, Position, Frequenz oder Pixelwerte werden direkt aufgezeichnet.
IB Mathematics · Indirekte Messmethoden
Indirekte Messmethoden für Mathematik-IA und Extended Essay.
Verwandle Rohwerte aus Sensoren, Video, GPS und einfachen Messgeräten in nachvollziehbare mathematische Zielgrößen, Modelle und Vergleiche.
Vom Sensorwert zur mathematischen Aussage
Ein Messgerät liefert Rohdaten – die Mathematik liefert die Zielgröße.
Bei einer indirekten Messung wird die interessante Größe nicht unmittelbar abgelesen. Sie entsteht aus mehreren Rohmessungen, einer nachvollziehbaren Modellgleichung und einer Auswertung. Genau diese Kette macht aus einem Gerätethema eine mathematische IA- oder EE-Frage.
Modell
Ein physikalisches, geometrisches oder statistisches Modell verbindet die Rohwerte.
Zielgröße
Widerstand, Leistung, Energie, Dichte, Rate, Gradient oder Fehlerellipse werden berechnet.
Analyse
Modelle, Residuen, Parameter, Unsicherheiten und Grenzen werden verglichen.
Rückwärts planenBeginne nicht mit dem Gerät, sondern mit der Zielgröße: Was möchtest du bestimmen? Welche Rohwerte werden dafür benötigt? Welches Modell verbindet beides? Und wie kannst du die Güte des Modells prüfen?
Geräte sinnvoll kombinieren
Acht Beispiele: Was du abliest und was du daraus berechnen kannst.
Die vorhandenen Gerätefotos zeigen reale Werkzeuge aus der PreLearning-Messgeräteübersicht. Die mathematische Aufgabe beginnt jeweils nach der Messung.
Dichte aus Geometrie und Masse
- Direkt gemessen
- Durchmesser, Länge, Tiefe und Masse
- Indirekt bestimmt
- Volumen und Dichte ρ = m/V
- Mathematische Auswertung
- Geometrische Modelle, relativer Fehler und Unsicherheitsfortpflanzung
Abkühlkonstante aus einer Zeitreihe
- Direkt gemessen
- Temperatur T in festen Zeitabständen
- Indirekt bestimmt
- Abkühlrate und Parameter k
- Mathematische Auswertung
- Exponentialregression, Residuen und Parametervergleich
Temperaturgradient und Schwellenfläche
- Direkt gemessen
- Temperaturwerte über einer Fläche
- Indirekt bestimmt
- Flächenmittel, Gradient und Fläche oberhalb einer Schwelle
- Mathematische Auswertung
- Bildskalierung, Flächenanalyse und räumliche Modellierung
Luftwechselrate aus CO₂-Abklingen
- Direkt gemessen
- CO₂-Konzentration C(t)
- Indirekt bestimmt
- Abklingkonstante und Luftwechselrate
- Mathematische Auswertung
- Exponentialmodell, Sensitivitätsanalyse und Modellvergleich
Potenzgesetz aus Feldstärke und Abstand
- Direkt gemessen
- Relative Feldstärke B und Abstand d
- Indirekt bestimmt
- Exponent n in B(d) = a·d⁻ⁿ + c
- Mathematische Auswertung
- Potenzregression, Log-Linearisation und Residuen
Kraft oder Masse aus digitalen Rohwerten
- Direkt gemessen
- Digitale Sensorsignale S
- Indirekt bestimmt
- Kraft oder Masse nach Kalibrierung
- Mathematische Auswertung
- Lineare und quadratische Kalibrierung, maximale Abweichung
Schallgeschwindigkeit aus Resonanzen
- Direkt gemessen
- Resonanzfrequenz f und Rohrlänge L
- Indirekt bestimmt
- Schallgeschwindigkeit v
- Mathematische Auswertung
- Regression von f gegen 1/L, Steigung und Fehleranalyse
GPS-Fehlerellipse aus Koordinaten
- Direkt gemessen
- Viele Koordinatenpaare am gleichen Ort
- Indirekt bestimmt
- Streuung, Kovarianz und Fehlerellipse
- Mathematische Auswertung
- Koordinatentransformation, Statistik und Ellipsengeometrie
Durchgerechnete Messkette
Beispiel: Leitfähigkeit einer Salzlösung aus Spannungsmessungen ableiten.
Eine mögliche Reihenschaltung besteht aus einer stabilen Spannungsquelle, einem bekannten Referenzwiderstand Rref und der Lösung zwischen zwei Elektroden. Gemessen werden Uref, ULösung, Temperatur, Elektrodenabstand L und wirksame Elektrodenfläche A.
StromI = Uref / Rref
Widerstand der LösungRLösung = Rref · ULösung / Uref
Näherungsweise Leitfähigkeitσ = L / (RLösung · A)
In welchem Umfang beschreibt ein lineares, Potenz- oder Sättigungsmodell den Zusammenhang zwischen Natriumchlorid-Konzentration und der aus Spannungsmessungen abgeleiteten elektrischen Leitfähigkeit bei konstanter Temperatur?
Für einen fairen Vergleich müssen Elektrodengeometrie, Temperatur, Messdauer, Elektrodenmaterial, Spannung und Durchmischung kontrolliert werden. Die Unsicherheit der abgeleiteten Leitfähigkeit hängt von mehreren Rohmessungen gleichzeitig ab.
18 Messketten
Von der direkten Messung zur mathematisch interessanten Größe.
Die Tabelle zeigt, wie sich vorhandene Geräte kombinieren lassen. Auf kleinen Bildschirmen wird jede Zeile als eigene Karte dargestellt.
| Gerät oder Kombination | Direkt gemessen | Indirekt abgeleitet | Mögliche Forschungsfrage | Mathematik |
|---|---|---|---|---|
| Messschieber + Waage | Durchmesser, Länge, Masse | Dichte ρ = m/V | Welches geometrische Modell liefert die realistischste Dichte eines Objekts? | Geometrie, Modellvergleich, relativer Fehler |
| Waage + Timer | Masse über Zeit | Verdunstungsrate dm/dt | Welches Modell beschreibt Verdunstung bei unterschiedlicher Luftströmung? | Differenzenquotient, Regression |
| Waage + Lüfter + Temperatur | Masse, Temperatur, Zeit | Luftstromabhängige Verdunstung | Wie verändern Luftstrom und Temperatur die Verdunstungskonstante? | Multiple Regression, Stückfunktionen |
| Messzylinder + Timer | Volumen, Zeit | Volumenstrom Q = ΔV/Δt | Wie verändert sich der Volumenstrom beim Entleeren? | Änderungsraten, Regression |
| Temperaturdatenlogger | Temperatur über Zeit | Abkühlkonstante | Welche Behälterisolation minimiert die Abkühlkonstante? | Exponentialregression, Residuen |
| DS18B20 an mehreren Orten | Temperatur, Ort, Zeit | Temperaturgradient ∂T/∂x | Wie entwickelt sich ein Temperaturgradient entlang eines Metallstabs? | Räumliche Regression, Änderungsraten |
| Wärmebildkamera | Temperaturfeld | Flächenmittel, Gradient | Wie verändert sich die Fläche oberhalb einer Temperaturschwelle? | Bildskalierung, Flächenanalyse |
| CO₂-Sensor | CO₂-Konzentration, Zeit | Luftwechselrate | Welche Lüftungsstrategie maximiert die Luftwechselrate? | Exponentialmodell, Parametervergleich |
| EMF-Meter + Maßband | Feldstärke, Abstand | Exponent eines Potenzgesetzes | Welcher Exponent n beschreibt B(d) = a·d⁻ⁿ + c? | Potenzregression, Log-Linearisation |
| HX711-Wägezelle | Digitale Rohwerte | Kraft oder Masse nach Kalibrierung | Welches Kalibrierungsmodell minimiert den Sensorfehler? | Kalibrierung, Residuen, Unsicherheit |
| Mikrofon + Maßband | Frequenz, Rohrlänge | Schallgeschwindigkeit | Wie genau lässt sich die Schallgeschwindigkeit aus Resonanzen bestimmen? | Regression f gegen 1/L |
| Smartphone-Video + Maßstab | Pixelposition, Bildnummer | Geschwindigkeit, Beschleunigung | Welches Modell beschreibt eine Flugbahn? | Quadratische Regression, Ableitungen |
| Smartphone-Gyroskop | Winkelgeschwindigkeit | Winkelposition, Dämpfung | Wie verändert sich die Dämpfungsrate mit Reibung? | Integration, Exponentialmodelle |
| GPS + Zeit | Position, Zeit | Geschwindigkeit, Weglänge | Wie unterscheiden sich GPS- und kartierte Weglängen? | Koordinaten, numerische Summation |
| GPS am festen Ort | Koordinatenfolge | Streuung, Fehlerellipse | Wie verändert Bebauung die GPS-Streuung? | Kovarianzmatrizen, Statistik |
| Kompass + GPS/Karte | Peilwinkel, Position | Triangulierte Position | Wie wächst Positionsunsicherheit bei kleinen Schnittwinkeln? | Trigonometrie, Fehlerfortpflanzung |
| ESP32-CAM + Bildanalyse | Pixelwerte, Bildzeit | Fläche, Ausbreitungsrate | Wie lässt sich Farbstoffausbreitung modellieren? | Skalierung, Potenzmodelle, Regression |
| Raspberry Pi + Sensorlogger | Mehrere Zeitreihen | Korrelation, Verzögerung | Wie hängen Temperatur, CO₂ und Lüftung zeitlich zusammen? | Zeitreihen, Korrelation, Verzögerung |
Nächste Schritte
Aus der Messidee eine vollständige Untersuchung entwickeln.
Zwölf vollständige Projektpakete
Forschungsfrage, Rohdaten, abgeleitete Größe, Mathematik, Kontrollen und passende Geräte.
Projektpakete öffnenMessdaten mathematisch auswerten
Änderungsraten, Integrale, Kalibrierung, Unsicherheit, Residuen und Datentabellen.
Auswertung planenAlle Messgeräte ansehen
Reale Produktfotos, Einsatzmöglichkeiten, Datenarten, Fehlerquellen und Beispielthemen.
Messgeräte öffnen